Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數(shù)列． （Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令cn=anbn（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*）， ∴a1=S1= =5，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（ ）﹣[ ]
=3n+2，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+2．
∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數(shù)列，
∴ ，解得q=2．
∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=4×2n﹣1=2n+1 ．
（Ⅱ）∵cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n ，
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和：
Tn=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n ， ①
2Tn=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1 ， ②
①﹣②，得：
﹣Tn=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1
=20+6× ﹣（6n+4）×2n+1
=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1 ，
∴Tn=（6n﹣2）×2n+1+4．
【解析】（Ⅰ）由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n（n∈N*），得到a1=S1=5，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+2，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2b2 ， b3﹣3，b2+2成等差數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公比，由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由cn=anbn=（3n+2）2n+1=（6n+4）2n ， 利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．