Question

3．函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，f′（x）＜$\frac{1}{2}$，則不等式f（x²）＜$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后將f（x²）＜$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$可轉(zhuǎn)化成f（x²）-$\frac{1}{2}$x²＜f（1）-$\frac{1}{2}$，即F（x²）＜F（1），根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)系，解之即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，又f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
則F'（x）=f'（x）-$\frac{1}{2}$＜0
∴F（x）在R上單調(diào)遞減
∵f（1）=1，
∴f（x²）＜$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$可轉(zhuǎn)化成f（x²）-$\frac{1}{2}$x²＜f（1）-$\frac{1}{2}$，
即F（x²）＜F（1）
根據(jù)F（x）在R上單調(diào)遞減則x²＞1
解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及利用構(gòu)造法新函數(shù)解不等式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．