Question

13．已知數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺²-4．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n•log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2ⁿ⁺²-4①，S_n-1=2ⁿ⁺¹-4，②運用遞推關系是求解即可．
（2）求解得出b_n=a_n•log₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用錯位相減法求解數列的和．

解答 解：∵數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺²-4．
∴a₁=2³-=4，
∵S_n=2ⁿ⁺²-4．①
S_n-1=2ⁿ⁺¹-4，②
①-②．a_n=2ⁿ⁺¹，n≥2．
n=1符合式子，
∴a_n=2ⁿ⁺¹，
（2）∵log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴b_n=a_n•log₂a_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴2t…+n•2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，③
2T_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+n×2ⁿ⁺¹+（n+1）×2ⁿ⁺²，④
③-④得出：-T_n=8+（2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹）-（n+1）×2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-（n+1）×2ⁿ⁺²=-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=n×2ⁿ⁺²．

點評 本題考察了數列的和與通項的關系，利用錯位相減法求解數列的和，考察了學生的化簡運算能力，屬于難題．