Question

1．已知實數(shù)x＞0，y＞0，z＞0，證明：（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{z}{6}$）≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 運用柯西不等式可得（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{z}{6}$）≥（$\sqrt{\frac{1}{x}•\frac{x}{2}}$+$\sqrt{\frac{2}{y}•\frac{y}{4}}$+$\sqrt{\frac{3}{z}•\frac{z}{6}}$）²，化簡整理即可得證．

解答 證明：由x＞0，y＞0，z＞0，
（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$+$\frac{3}{z}$）（$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{z}{6}$）≥（$\sqrt{\frac{1}{x}•\frac{x}{2}}$+$\sqrt{\frac{2}{y}•\frac{y}{4}}$+$\sqrt{\frac{3}{z}•\frac{z}{6}}$）²
=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9}{2}$．
當且僅當x=$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{3}$時，取得等號．
故原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用柯西不等式，考查運算和推理能力，屬于中檔題．