Question

11．已知a，b，c∈R⁺，求證：
（1）a⁵≥a⁴+a-1；
（2）$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{2^{2}}{c+a}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥a+b+c．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用作差比較法，結(jié)合因式分解，平方非負(fù)的概念即可得證；
（2）運(yùn)用基本不等式，可得$\frac{b+c}{2}$+$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$≥2a，$\frac{c+a}{2}$+$\frac{2^{2}}{c+a}$≥2b，$\frac{a+b}{2}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥2c，累加即可得證．

解答 證明：（1）由a＞0，a⁵-（a⁴+a-1）=（a⁵-a）-（a⁴-1）
=a（a⁴-1）-（a⁴-1）=（a-1）（a⁴-1）
=（a-1）²（a+1）（a²+1）≥0，
可得a⁵≥a⁴+a-1，（當(dāng)a=1時(shí)取得等號(hào)）；
（2）由a，b，c＞0，$\frac{b+c}{2}$+$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$≥2$\sqrt{\frac{b+c}{2}•\frac{2{a}^{2}}{b+c}}$=2a，
同理可得$\frac{c+a}{2}$+$\frac{2^{2}}{c+a}$≥2b，
$\frac{a+b}{2}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥2c，
上面三式相加，可得（a+b+c）+（$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{2^{2}}{c+a}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$）≥2a+2b+2c，
即為$\frac{2{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{2^{2}}{c+a}$+$\frac{2{c}^{2}}{a+b}$≥a+b+c，（當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差比較法和基本不等式，考查累加法以及推理能力，屬于中檔題．