Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為（0，2），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：過圓x²+y²=r²上一點(diǎn)Q（x₀，y₀）的切線方程為x₀x+y₀y=r²；
（Ⅲ）過橢圓C上一點(diǎn)P向圓x²+y²=1引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線AB分別與x軸、y軸交于M，N兩點(diǎn)時(shí)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得b=2，再由離心率公式可得a=4，b=2，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論切線的斜率存在和不存在，由直線的點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x_P，y_P），求得過A，B的切線方程，可得切點(diǎn)弦AB方程，再由兩點(diǎn)的距離公式和基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ） 由題意可得b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又c²=a²-b²，
即有a=4，b=2，
則橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)切線的斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
又因?yàn)閗=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
故切線方程為y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），即有x₀x+y₀y=r²．
當(dāng)k不存在時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為（±r，0），對(duì)應(yīng)切線方程為x=±r，符合x₀x+y₀y=r²，
綜上，切線方程為x₀x+y₀y=r²；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x_P，y_P），PA，PB是圓x²+y²=1的切線，切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過點(diǎn)A的圓的切線為x₁x+y₁y=1，過點(diǎn)B的圓的切線為x₂x+y₂y=1．
由兩切線都過P點(diǎn)，x₁x_P+y₁y_P=1，x₂x_P+y₂y_P=1．
則切點(diǎn)弦AB的方程為x_Px+y_Py=1，由題知x_Py_P≠0，
即有M（$\frac{1}{{x}_{P}}$，0），N（0，$\frac{1}{{y}_{p}}$），
|MN|²=$\frac{1}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{1}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$）•（$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{4}$）
=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$•$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}$≥$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$+2$\sqrt{\frac{1}{64}•\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}•\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}}$=$\frac{9}{16}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x_P²=$\frac{16}{3}$，y_P²=$\frac{8}{3}$時(shí)取等號(hào)，
則|MN|≥$\frac{3}{4}$，|MN|的最小值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件，以及直線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．