Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx-x
（1）若f（x）為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當a=0時，證明：f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（x＞0），由f（x）為增函數(shù)，可得f′（x）=lnx-$\frac{a}{x}$≥，化為a≤xlnx；令g（x）=xlnx（x＞0），利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）當a=0時，f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1?xlnx≥xe^-x-2e^-1．由（1）可得：$xlnx≥-\frac{1}{e}$．令h（x）=xe^-x-2e^-1．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值，求出最大值，只有證明h（x）_max$≤-\frac{1}{e}$即可得出．

解答 （1）解：${f}^{′}（x）=lnx+\frac{x-a}{x}$-1=lnx-$\frac{a}{x}$（x＞0），
∵f（x）為增函數(shù)，∴f′（x）=lnx-$\frac{a}{x}$≥，化為a≤xlnx；
令g（x）=xlnx（x＞0），g′（x）=lnx+1，
當x∈$（0，\frac{1}{e}）$時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當x∈$（\frac{1}{e}，+∞）$時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴當x=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，$g（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$，
∴$a≤-\frac{1}{e}$．
∴a的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{e}]$．
（2）證明：當a=0時，f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1?xlnx≥xe^-x-2e^-1．由（1）可得：$xlnx≥-\frac{1}{e}$．
令h（x）=xe^-x-2e^-1．h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當x=1時，函數(shù)h（x）取得極大值即最大值，h（1）=-$\frac{1}{e}$．
由以上可得：xlnx≥xe^-x-2e^-1．
∴f（x）≥x（e^-x-1）-2e^-1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問題等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分析問題與解決問題的能力、計算能力，屬于難題．