Question

設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組

m＞3 f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0

，那么m²+n²的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,直線與圓

分析：由于對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，則-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），則原不等式組可化為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），且m＞3，再由單調(diào)性可得（m-3）²+（n-4）²＜4，又m＞3，則原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橛野雸A內(nèi)的部分，由于m²+n²表示點(diǎn)（m，n）與原點(diǎn)的距離d的平方，通過(guò)圖象觀察即可得到取值范圍．

解答： 解：由于對(duì)于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，
則-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
即有f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
即為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），
由于f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
則m²-6m+23＜2-n²+8n，
即有（m-3）²+（n-4）²＜4，
又m＞3，則原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橛野雸A內(nèi)的部分，
由于m²+n²表示點(diǎn)（m，n）與原點(diǎn)的距離d的平方，
由圖象可得d∈（|OA|，|OB|），
即d∈（

13

，7）．
即有m²+n²的取值范圍是（13，49）．
故答案為：（13，49）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查直線與圓的位置關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．