Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+2co{s}^{2}θ}}$．
（I）直接寫出直線l、曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）將直線的參數(shù)方程相減消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程兩邊平方，得出曲線C的普通方程；
（II）求出曲線C的參數(shù)方程，把參數(shù)方程代入點(diǎn)到直線的距離公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解出d的最值．

解答 解：（I）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴x-y=-3，即x-y+3=0．∴直線l的直角坐標(biāo)方程是x-y+3=0．
∵ρ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+2co{s}^{2}θ}}$，∴ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，即ρ²+2ρ²cos²θ=3．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x²+y²=3，即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
則曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|cosα-\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（α+\frac{π}{3}）+3|}{\sqrt{2}}$．
∴當(dāng)cos（$α+\frac{π}{3}$）=1時(shí)，d取得最大值$\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)cos（$α+\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，d取得最小值$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴d的取值是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程在求距離中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．