Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）在線段PD上是否存在點(diǎn)E，使CE與平面PAD所成的角為45°？若存在，求出有

PE

PD

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

1

2

AD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取AD中點(diǎn)M，連接CM，可證得CM⊥平面PAD，連接ME，∠CME就是CE與平面PAD所成的角，進(jìn)而根據(jù)CE與平面PAD所成的角為45°，得到滿足條件的E點(diǎn)位置，進(jìn)而得到答案．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC，
∵PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AB，
而∠PBA=45°，
∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，
易得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得則AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵AC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，
又∵CD?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）取AD中點(diǎn)M，連接CM，
∵AD=2BC，故AM=BC，
此時(shí)四邊形ABCM為矩形，則CM⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，
∴PA⊥CM．
∵AD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CM⊥平面PAD，
連接ME，∠CME就是CE與平面PAD所成的角．
∵CM=1，
∴ME=1，在△PAD中，MD=1，

PE

PD

=1．
不難求到另一個點(diǎn)E的位置為

PE

PD

=

1

5

，
所以，線段PD上存在點(diǎn)E，使CE與平面PAD所成的角為45⁰，此時(shí)

PE

PD

=1或

1

5

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面的夾角，存在性問題，難度中檔．