【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)①討論函數(shù)的單調(diào)性;
②求證:.
【答案】(1)見解析;(2)見證明
【解析】
(1)先對函數(shù)求導,求出其單調(diào)區(qū)間,即可得出其極值;
(2)①對函數(shù)求導,可得,由(1)的結果,即可確定函數(shù)的單調(diào)性;
②由①可知,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減,進而可得對任意恒成立,再令(,且),代入不等式整理即可得出結論成立.
解:(1).
令,得;令,得,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以-1是函數(shù)的一個極大值點,即,無極小值.
(2)①函數(shù)的定義域為.
,
由(1)得,的最大值為其極大值,
所以的最大值為.
所以對一切,都有.
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.
②由①可知,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減,
則當時,,
即對任意恒成立.
令(,且),得,
得,
得,
得,所以,即.
令,即得.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點M為棱A1B1的中點.
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.
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【題目】已知橢圓:()的離心率為,橢圓與軸交于兩點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設點是橢圓上的一個動點,且點在軸的右側,直線與直線交于兩點,若以為直徑的圓與軸交于,求點橫坐標的取值范圍及的最大值.
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【題目】將個不同的紅球和個不同的白球,放入同一個袋中,現(xiàn)從中取出個球.
(1)若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù),則有多少種不同的取法;
(2)取出一個紅球記分,取出一個白球記分,若取出個球的總分不少于分,則有多少種不同的取法;
(3)若將取出的個球放入一箱子中,記“從箱子中任意取出個球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到個紅球并且恰有一次取到個白球的概率.
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【題目】從甲、乙兩班各隨機抽取10名同學,下面的莖葉圖記錄了這20名同學在2018年高考語文作文題目中的成績(單位:分).已知語文作文題目滿分為60分,“分數(shù)分,為及格;分數(shù)分,為高分”,若甲、乙兩班的成績的平均分都是44分,
(1)求的值;
(2)若分別從甲、乙兩班隨機各抽取1名成績?yōu)楦叻值膶W生,求抽到的學生中,甲班學生成績高于乙班學生成績的概率.
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【題目】如圖,公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地,其中,在該塊土地中處有一小型建筑,經(jīng)測量,它到公路的距離分別為,現(xiàn)要過點修建一條直線公路,將三條公路圍成的區(qū)域建成一個工業(yè)園.
(1)以為坐標原點建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼,并求?/span>點的坐標;
(2)三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為,求公路所在直線方程.
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【題目】已知橢圓長軸的兩頂點為、,左、右焦點分別為、,焦距為,且,過且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)在雙曲線上取點異于頂點,直線與橢圓交于點,若直線、、、的斜率分別為、、、,試證明:為定值;
(3)在橢圓外的拋物線上取一點,若、的斜率分別為、,求的取值范圍.
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