Question

已知拋物線C₁：x²=2y的焦點為F，以F為圓心的圓C₂交C₁于A，B兩點，交C₁的準線于C，D兩點，若四邊形ABCD是矩形，則圓C₂的方程為（　�。�

• A、x²+（y-1）²=12
• B、x²+（y-1）²=16
• C、x²+（y-

  1

  2

  ）²=3
• D、x²+（y-

  1

  2

  ）²=4

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意知，圓C₂的圓心坐標為F（0，

1

2

），且點F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點，利用點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等可求得直線AB的方程為：y=

3

2

，從而可求得A點坐標，從而可求得圓C₂的半徑，于是可得答案．

解答： 解：依題意，拋物線C₁：x²=2y的焦點為F（0，

1

2

），
∴圓C₂的圓心坐標為F（0，

1

2

），
∵四邊形ABCD是矩形，且BD為直徑，AC為直徑，F(xiàn)（0，

1

2

）為圓C₂的圓心，
∴點F為該矩形的兩條對角線的交點，
∴點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等，
又點F到直線CD的距離d=1，
∴直線AB的方程為：y=

3

2

，
∴A（

3

，

3

2

），
∴圓C₂的半徑r=|AF|=

( 3 -0)2+( 3 2 - 1 2 )2

=2，
∴圓C₂的方程為：x²+（y-

1

2

）²=4，
故選：D．

點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查圓的標準方程的確定，分析得到點F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點是關(guān)鍵，考查作圖、分析與運算能力，屬于中檔題．