Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)F₂關(guān)于直線y=

bx

a

對(duì)稱，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  5

• C、

  2

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出過(guò)焦點(diǎn)F且垂直漸近線的直線方程，聯(lián)立漸近線方程，解方程組可得對(duì)稱中心的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程結(jié)合a²+b²=c²，解出e即得．

解答： 解：過(guò)焦點(diǎn)F且垂直漸近線的直線方程為：y-0=-

a

b

（x-c），
聯(lián)立漸近線方程y=

bx

a

與y-0=-

a

b

（x-c），
解之可得x=

a2

c

，y=

ab

c

故對(duì)稱中心的點(diǎn)坐標(biāo)為（

a2

c

，

ab

c

），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2a2

c

-c，

2ab

c

），
將其代入雙曲線的方程可得

(2a2-c2)2

a2c2

-

4a2b2

b2c2

=1，結(jié)合a²+b²=c²，
化簡(jiǎn)可得c²=5a²，故可得e=

c

a

=

5

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及離心率的求解和對(duì)稱問(wèn)題，屬中檔題．