Question

如圖所示，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設(shè)向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m、n為實數(shù)），則m+n的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：連接AE會發(fā)現(xiàn)它與AB垂直，所以構(gòu)造

AP

•

AE

，將條件中的

AP

=m

AB

+n

AF

帶人，便會得到

AP

•

AE

=m

AB

•

AE

+n

AF

•

AE

，而

AB

•

AE

=0，所以經(jīng)過化簡就可得到

AP

•

AE

=6n．同樣的辦法你會得到

AP

•

AC

=6m，顯然得到的這兩式需相加便經(jīng)過化簡得到m+n=|

AP

|cos∠PAO，而這正好是

AP

在

AO

方向上的投影，所以求這個投影的最大值即可，而投影的最大值，通過圖形就能得到．

解答： 解：如圖所示，

AP

=m

AB

+n

AF

．
∴

AP

•

AE

=m

AB

•

AE

+n

AF

•

AE

=n

AF

•

AE

=n|

AF

||

AE

|cos∠FAE=6n    ①
同理，

AP

•

AC

=6m        ②
①+②得：

AP

•(

AE

+

AC

)=6(m+n)；
∵

AE

+

AC

=2

AO

，∴2

AP

•

AO

=6(m+n)．
∵

AP

•

AO

=|

AP

||

AO

|cos∠PAO=3|

AP

|cos∠PAO．
∴m+n=|

AP

|cos∠PAO，其幾何意義就是

AP

在

AO

上的投影．
∴求m+n的最大值就轉(zhuǎn)化為求

AP

在

AO

上投影最大值．
從圖形上可以看出：當(dāng)點Q和D點重合時，

AP

在

AO

上的投影取到最大值5．

點評：本題需注意的是構(gòu)造兩組數(shù)量級，將求m+n的最大值轉(zhuǎn)化為求

AP

在

AO

方向上投影的最大值．