Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），當(dāng)x∈（0，

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）時，f（x）=ln（x²-2x+2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件可分別求出-

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＜x＜0，-2≤x＜-

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，

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＜x≤2的解析式，再令f（x）=0，求出實根，再令x=

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，求出f（-

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）=f（

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）=0，即可得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)．

解答： 解：令-

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＜x＜0，則0＜-x＜

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，
由于當(dāng)x∈（0，

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）時，f（x）=ln（x²-2x+2），
f（x）=0，則x₁=1；
則f（-x）=ln（x²+2x+2），
又f（-x）=-f（x），
則-

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＜x＜0時，f（x）=-ln（x²+2x+2），f（x）=0，則x₂=-1；
令-2≤x＜-

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，則1≤x+3＜

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，f（x+3）=ln（（x+3）²-2（x+3）+2），
由于f（x-3）=f（x），即有f（x+3）=f（x），
則-2≤x＜-

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，f（x）=ln（x²+4x+5），f（x）=0，x₃=-2；
則

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＜x≤2時，f（x）=-ln（x²-4x+5），f（x）=0，x₄=2
當(dāng)x=

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時，f（-

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）=f（

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）=-f（

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），即f（-

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）=f（

3

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）=0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為6．
故答案為：6．

點評：本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性及其運用，考查函數(shù)的解析式的求法，以及函數(shù)零點的求法，屬于中檔題．