Question

11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\sqrt{2}$（sinC-sinA）=sinB．
（1）求$\frac{c-a}$的值；
（2）若b=$\sqrt{2}，\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，得：$\sqrt{2}$（c-a）=b，由此能求出$\frac{c-a}$的值．
（2）推導出accosB=$\frac{3}{2}$，c-a=1，求出a=1，c=2，由此能求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
$\sqrt{2}$（sinC-sinA）=sinB．
∴由正弦定理，得：$\sqrt{2}$（c-a）=b，
∴$\frac{c-a}=\sqrt{2}$．
（2）∵$\sqrt{2}$（c-a）=b，b=$\sqrt{2}，\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$，
∴accosB=$\frac{3}{2}$，∴c-a=1，ac•$\frac{{a}^{2}+{{c}^{2}-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c-a=1}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得a=1，c=2，
∴cosB=$\frac{3}{4}$，sinB=$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．

點評 本題考查三角形面積的求法，考查三角形的邊的代數式的取值的求法，考查同角三角函數關系式、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．