Question

證明不等式：e^x≥x+1≥sinx+1（x≥0）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，x＞0及g（x）=x-sinx，x≥0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）及g（x）的最小值即可證明e^x≥x+1≥sinx+1（x≥0）．

解答： 證明：令f（x）=e^x-x-1，x＞0，
則f′（x）=e^x-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴對任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，∴f（x）＞0，
即e^x＞x+1．
令g（x）=x-sinx，x≥0，
g'（x）=1-cosx≥0，
∴g（x）_min=g（0）=0-sin0=0，
∴g（x）=x-sinx≥0，
∴x+1≥sinx+1（x≥0）．
綜上，e^x≥x+1≥sinx+1（x≥0）．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的知識，通過構(gòu)造函數(shù)法把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，體會轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用，屬中檔題．