Question

9．己知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a，x≤0}\\{x-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若關于x的方程f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪（-1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得如果f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解，則f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1個方程有解，且只有1解，即函數(shù)f（x）的圖象與y=1或y=lna（a＞0）的圖象有且只能有一個交點，進而作出函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}\\，\\ x≤0}\\{x-\frac{1}{x}\\ \\，\\ x＞0}\end{array}\right.$的圖象，分析其圖象與函數(shù)f（x）的圖象的位置關系，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，假設f（t）=0，
則當t≤0時，有e^t-a=0，則t=lna，（a＞0）
當t＞0時，有t-$\frac{1}{t}$=1，解可得t=1，
如果f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解，則f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1個方程有解，且只有1解，
即函數(shù)f（x）的圖象與y=1或y=lna（a＞0）的圖象有且只能有一個交點，
作出函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}\\，\\ x≤0}\\{x-\frac{1}{x}\\ \\，\\ x＞0}\end{array}\right.$的圖象，將其圖象x≤0的部分向上或向下平移|a|個單位可得函數(shù)f（x）的圖象，
分析可得，函數(shù)f（x）的圖象只可能與y=1有且只有一個交點，
且a的取值范圍是（-∞，-1]∪（1，+∞）；
故答案為：（-∞，-1]∪（1，+∞）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的零點和方程的根的關系，運用分類討論的思想和函數(shù)的值域是解題的關鍵．