Question

4．一次測(cè)驗(yàn)共有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題，每答對(duì)一個(gè)選擇題得20分，每答對(duì)一個(gè)填空題得10分，答錯(cuò)或不答得0分，若某同學(xué)答對(duì)每個(gè)選擇題的概率均為$\frac{2}{3}$，答對(duì)每個(gè)填空題的概率均為$\frac{1}{2}$，且每個(gè)題答對(duì)與否互不影響．
（1）求該同學(xué)得80分的概率；
（2）若該同學(xué)已經(jīng)答對(duì)了3個(gè)選擇題和1個(gè)填空題，記他這次測(cè)驗(yàn)的得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“該同學(xué)得80分”為事件A，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式能求出該同學(xué)得80分的概率．
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為70、80、90、100，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）記“該同學(xué)得80分”為事件A，
則$P（A）=C_4^3{（\frac{2}{3}）^3}（\frac{1}{3}）•C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}+C_4^4{（\frac{2}{3}）^4}•C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{4}{27}$…（6分）
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為70、80、90、100，
$P（ξ=70）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=80）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=90）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=100）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	70	80	90	100
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

$E（ξ）=70×\frac{1}{6}+80×\frac{1}{6}+90×\frac{1}{3}+100×\frac{1}{3}=\frac{265}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．