Question

已知向量

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（cosx，-sinx），求函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1．
（1）如果f（x）=

1

2

，求sin4x的值．
（2）如果x∈（0，

π

2

），求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：計(jì)算向量的數(shù)量積，利用二倍角．兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的表達(dá)式，得到一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式；
（1）借助誘導(dǎo)公式和二倍角公式，求出sin4x的值．
（2）先求出2x+

π

4

的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域．

解答： 解：∵

a

=（2sinx，2sinx），

b

=（cosx，-sinx），
∴f（x）=

a

•

b

+1=2sinxcosx-2sin²x+1=sin2x+co2x=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）∵f（x）=

1

2

，
∴

2

sin（2x+

π

4

）=

1

2

，
∴sin（2x+

π

4

）=

2

2

，
∴sin4x=-cos（4x+

π

2

）=-cos2（2x+

π

4

）=-[1-2sin²（2x+

π

4

）]=-1+2×

1

2

=0，
（2）∵x∈（0，

π

2

），
∴2x+

π

4

∈（

π

4

，

5π

4

），
∴-

2

2

＜sin（2x+

π

4

）＜1，
∴-1＜

2

sin（2x+

π

4

）＜

2

，
∴f（x）的取值范圍（-1，

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的二倍角公式，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，向量的數(shù)量積，屬于中檔題．