Question

已知sinx+siny=

1

2

．
（1）求μ=3sinx-cos²y的最大值和最小值；
（2）求t=αsinx-cos²y（其中α∈R）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）把已知的等式變形，代入μ=3sinx-cos²y后化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，然后利用配方法求其最值；
（2）把已知的等式變形，代入μ=3sinx-cos²y后化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，然后對(duì)α分類(lèi)求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）∵sinx+siny=

1

2

，
∴siny=

1

2

-sinx，
∴μ=3sinx-cos²y=3sinx-（1-sin²y）
=sin²y+3sinx-1=(

1

2

-sinx)2+3sinx-1
=(sinx+1)2-

7

4

．
∴μ=3sinx-cos²y的最大值為

9

4

，最小值為-

7

4

；
（2）t=αsinx-cos²y=αsinx-（1-sin²y）
=sin²y+αsinx-1=(

1

2

-sinx)2+αsinx-1
=sin2x+(α-1)sinx-

3

4

．
令sinx=m（-1≤m≤1），
則t=m2+(α-1)m-

3

4

．
對(duì)稱(chēng)軸方程為m=

1-α

2

，
當(dāng)

1-α

2

≤-1，即α≥3時(shí)，函數(shù)的最小值為(-1)2-(α-1)-

3

4

=

5

4

-α；
當(dāng)-1＜

1-α

2

＜1，即-1＜α＜3時(shí)，函數(shù)的最小值為(

1-α

2

)2+(α-1)•

1-α

2

-

3

4

=

α2

4

-1；
當(dāng)

1-α

2

≥1，即α≤-1時(shí)，函數(shù)的最小值為12+α-1-

3

4

=α-

3

4

．
綜上，t=αsinx-cos²y（其中α∈R）的最小值為f(α)=

5 4 -α，α≥3 α2 4 -1，-1＜α＜3 α- 3 4 ，α≤-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了配方法求函數(shù)的最值，對(duì)于（2）的求解，正確分類(lèi)是關(guān)鍵，是中檔題．