【題目】已知多面體中,,,,,為的中點。
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求異面直線和所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值。
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)取CE中點F,連接BF,OF,由幾何關(guān)系可證得四邊形ABFO為平行四邊形,結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得題中的結(jié)論;
(Ⅱ)取DE中點M,連接AF,由題意可證得ABEM為平行四邊形,從而∠CAM或其補角為AC與BE所成的角.求得三角形的邊長,利用余弦定理可得異面直線AC和BE所成角的余弦值.
(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論可知∠DBF就是直線BD與平面BEC所成角,利用邊長的比值關(guān)系可得與平面所成角的正弦值.
(Ⅰ)取CE中點F,連接BF,OF,
∵O為CD的中點,
∴OF∥DE,且OF=DE,
∵AB//DE,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,
∴OF∥AB,OF=AB,
則四邊形ABFO為平行四邊形,
∴AO//BF,BF平面BCE,AO平面BCE,
∴AO//平面BCE;
(Ⅱ)取DE中點M,連接AF,
∵AB∥DE,AB=1,DE=2,
∴AB∥ME,AB=ME ,
∴ABEM為平行四邊形.
∴AM//BE.
∴∠CAM或其補角為AC與BE所成的角.
∵DE⊥平面ACD,AD,CD平面ACD,
∴DE⊥CD,DE⊥AD,
在中,CD=2,DM=1,,
在中,AD=2,DM=1,,
.
所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.
(Ⅲ)由題意可得BF//AO,
∵AO⊥平面CDE,∴BF⊥平面CDE,∴BF⊥DF.
∵CD=DE,∴DF⊥CE,
∵BF∩CE=F,∴DF⊥平面CBE;
∴∠DBF就是直線BD與平面BEC所成角.
在△BDF中,,
.
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【題目】已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點,且該橢圓的離心率為,
(Ⅰ)求該橢圓的標準方程:
(Ⅱ)求過點的直線與該橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,若,求的面積.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形,,,是正三角形,為的中點,平面平面.
(1)求證:平面;
(2)在棱上是否存在點,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式;
(2)若T3=21,求S3.
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【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足,且是的等差中項.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,對任意正數(shù)數(shù), 恒成立,試求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),,是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點,連結(jié)交橢圓于另一點,證明:直線與軸相交于定點.
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【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù),,且對任意,都有,數(shù)列前n項的和.
(1)若數(shù)列是等比數(shù)列,求的值和;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,求和的關(guān)系式;
(3),當時,求證: 是一個常數(shù).
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【題目】某公司新發(fā)明了甲、乙兩種不同型號的手機,公司統(tǒng)計了消費者對這兩種型號手機的評分情況,作出如下的雷達圖,則下列說法不正確的是( )
A. 甲型號手機在外觀方面比較好.B. 甲、乙兩型號的系統(tǒng)評分相同.
C. 甲型號手機在性能方面比較好.D. 乙型號手機在拍照方面比較好.
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