Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1-2．
（Ⅰ）若a=1，求f（log₂3）的值；
（Ⅱ）某同學(xué)研究的值域時(shí)的過程如下，請(qǐng)你判斷是否正確，如果不正確，請(qǐng)寫出正確的過程．
f（x）=（2^x）²-2a•2^x-2=（2^x-a）²-a²-2
∴f（x）的值域?yàn)閇-a²-2，+∞）．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若a=1，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求f（log₂3）的值；
（Ⅱ）利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=4^x-2^x+1-2．
則f（log₂3）=4log23-2•2log23-2=（2log23）²-2×3-2=9-6-2=1；
（Ⅱ）不正確：
f（x）=（2^x）²-2a•2^x-2=（2^x-a）²-a²-2，
令t=2^x，則t＞0，
則函數(shù)等價(jià)為y=g（t）=（t-a）²-a²-2，
若a≤0，則函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，此時(shí)y=g（t）＞g（0）=-2，
若a＞0，則當(dāng)t=a時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)y=g（t）≥g（t）=-a²-2，
綜上當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?2，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-a²-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)是運(yùn)算，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．