Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x，x≤0\\|{lgx}|，x＞0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=a有四個(gè)根x₁，x₂，x₃，x₄，則這四個(gè)根之和x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是$（{0，\frac{81}{10}}）$．

Answer 1

分析 作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x，x≤0\\|{lgx}|，x＞0\end{array}\right.$的圖象，從而可得x₁+x₂=-2，x₃x₄=1且1＜x₄＜10；從而結(jié)合基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：作函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x，x≤0\\|{lgx}|，x＞0\end{array}\right.$的圖象如下，，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程有四個(gè)不同的解，
如圖中的四個(gè)交點(diǎn)，
故x₁+x₂=-2，x₃x₄=1且1＜x₄＜10；
故2＜x₃+x₄＜10+$\frac{1}{10}$，
故0＜x₁+x₂+x₃+x₄＜8+$\frac{1}{10}$，
即x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是$（{0，\frac{81}{10}}）$，
故答案為：$（{0，\frac{81}{10}}）$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．