Question

13．下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，$lgx+\frac{1}{lgx}≥2$
• B． 當(dāng)x＞0時(shí)，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$
• C． 當(dāng)x≥3時(shí)，$x+\frac{1}{x}$的最小值是2
• D． 當(dāng)0＜x≤1時(shí)，$x-\frac{1}{x}$無最大值

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可判斷出結(jié)論．

解答 解：A.0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，不成立；
B．當(dāng)x＞0時(shí)，$\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號，正確．
C．當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=$x+\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）的最小值為3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，不正確．
D.0＜x≤1時(shí)，f（x）=$x-\frac{1}{x}$，f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，因此函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）的最大值為0，因此不正確．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．