Question

4．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，E是側棱PC上的動點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論；
（3）若點E為PC的中點，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由四棱錐P-ABCD的三視圖得該四棱錐的底面是邊長為1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（2）推導出BD⊥AC，PC⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此根據AE?平面PAC，得到不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）以C為原點，CD為x軸，DB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答 解：（1）由四棱錐P-ABCD的三視圖得該四棱錐的底面是邊長為1的正方形，
PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積：
V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×PC$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×2$=$\frac{2}{3}$．
（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PC⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD，
又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，
∵E是側棱PC上的動點，∴AE?平面PAC，
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）以C為原點，CD為x軸，DB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標系，
B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），
設平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角E-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角E-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE的判斷與證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．