Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1且a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，設(shè)b_n=n（a_n+1），則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n+1，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，公比為2，首項為2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=n（a_n+1）=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
故答案為：（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．