Question

【題目】

已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）若函數(shù)的最大值為，求的值；

（3）若對(duì)于內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于自變量的不等式組，即可求解函數(shù)的定義域；

（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可分析出函數(shù)的最小值為時(shí)，即可求解實(shí)數(shù)的值.

（3）若不等式恒成立，即在上恒成立，設(shè)出新函數(shù)，利用基本不等式求解最大值，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）要使函數(shù)有意義：則有，解得－2＜x＜1

∴ 函數(shù)的定義域為

（2）

因?yàn)?

所以

因?yàn)?/span>，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因?yàn)?/span>，所以

所以在恒成立

設(shè)，令

則

即，因?yàn)?/span>，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)

所以

所以