Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．若為銳角，則該橢圓的離心率的取值范圍是_____

Answer 1

【答案】

【解析】

由題設(shè)知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，），由△是銳角三角形，知tan∠AF1 F2＜1，所以1，由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍．

解：∵點(diǎn)F1、F2分別是橢圓1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，

過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，

∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），

∵△是銳角三角形，

∴∠AF1 F2＜45°，∴tan∠AF1 F2＜1，

∴1，

整理，得b2＜2ac，

∴a2﹣c2＜2ac，

兩邊同時除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，

解得e1，或e1，（舍），

∴0＜e＜1，

∴橢圓的離心率e的取值范圍是（1，1）．

故答案為：（1，1）．