【題目】如圖,三棱柱中,四邊形是菱形,,二面角為, .
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)先由三棱柱性質將線面垂直轉化為,再由得線線垂直,又由是菱形得,最后根據線面垂直判定定理得線面垂直, 根據面面垂直判定定理得平面平面.(2)求二面角的大小,一般借助空間向量數量積求解,先根據條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組解出各面法向量,利用向量數量積求兩法向量夾角,最后根據二面角與法向量夾角關系求二面角.
試題解析:(1)證明:在三棱柱中,由
得,則,
又是菱形, 得,而,
則,
故平面平面.
(2)
由題意得為正三角形,
取得中點為D,連CD,BD,
則,又
易得,則為二面角的平面角,
因, =,所以,
所以
過交點作,垂足為,連
則為二面角的平面角,
又 得
所以
另:建系用向量法相應給分。
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【題目】已知, 是兩條不同直線, , 是兩個不同平面,則下列命題正確的是( )
A. 若, 垂直于同一平面,則與平行
B. 若, 平行于同一平面,則與平行
C. 若, 不平行,則在內不存在與平行的直線
D. 若, 不平行,則與不可能垂直于同一平面
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【題目】已知直線: (為給定的正常數, 為參數, )構成的集合為,給出下列命題:
①當時, 中直線的斜率為;
②中的所有直線可覆蓋整個坐標平面.
③當時,存在某個定點,該定點到中的所有直線的距離均相等;
④當時, 中的兩條平行直線間的距離的最小值為;
其中正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
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【題目】給出下列命題:
①函數y=cos(2x﹣ )圖象的一條對稱軸是x=
②在同一坐標系中,函數y=sinx與y=lgx的交點個數為3個;
③將函數y=sin(2x+ )的圖象向右平移 個單位長度可得到函數y=sin2x的圖象;
④存在實數x,使得等式sinx+cosx= 成立;
其中正確的命題為(寫出所有正確命題的序號).
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【題目】(本小題滿分8分) 已知拋物線C:y=-x2+4x-3 .
(1)求拋物線C在點A(0,-3)和點B(3,0)處的切線的交點坐標;
(2)求拋物線C與它在點A和點B處的切線所圍成的圖形的面積.
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【題目】隨著社會發(fā)展,淮北市在一天的上下班時段也出現了堵車嚴重的現象。交通指數是交通擁堵指數的簡稱,是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念.記交通指數為T,其范圍為[0,10],分別有5個級別:T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴重擁堵.早高峰時段(T≥3 ),從淮北市交通指揮中心隨機選取了一至四馬路之間50個交通路段,依據交通指數數據繪制的直方圖如圖所示:
(I)據此直方圖估算交通指數T∈[4,8)時的中位數和平均數;
(II)據此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個路段至少有2個嚴重擁堵的概率是多少?
(III)某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為35分鐘,中度擁堵為45分鐘,嚴重擁堵為60分鐘,求此人用時間的數學期望.
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【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形, , , , 點在底面內的射影在線段上,且, , 為的中點, 在線段上,且.
(Ⅰ)當時,證明:平面平面;
(Ⅱ)當平面與平面所成的二面角的正弦值為時,求四棱錐的體積.
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【題目】樣本a1 , a2 , a3 , …,a10的平均數為 ,樣本b1 , b2 , b3 , …,b10的平均數為 ,那么樣本a1 , b1 , a2 , b2 , …,a10 , b10的平均數為( )
A.+
B.( + )
C.2( + )
D.( + )
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【題目】給出下列五個命題:①“若,則或”是假命題;②從正方體的面對角線中任取兩條作為一對,其中所成角為的有48對;③“ ”是方程表示焦點在軸上的雙曲線的充分不必要條件;④點是曲線(, )上的動點,且滿足,則的取值范圍是;⑤若隨機變量服從正態(tài)分布,且,則.其中正確命題的序號是__________(請把正確命題的序號填在橫線上).
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