Question

3．已知雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若其過焦點的最短弦長為2，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線通徑的性質(zhì)分析可得2×$\frac{^{2}}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=2，即b²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，又由雙曲線離心率公式可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$，分析可得e²的取值范圍，化簡可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中，其過焦點的最短弦為通徑，其長為$\frac{2^{2}}{a}$，
又由雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，若其過焦點的最短弦長為2，
則有2×$\frac{^{2}}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=2，即b²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
該雙曲線的離心率為e，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4}}{{m}^{2}+4}$=1+$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$，
分析可得：1＜e²≤$\frac{3}{2}$，
則有1＜e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即e的取值范圍是（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]，
故答案為：（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線中其過焦點的最短弦長為$\frac{2^{2}}{a}$．