Question

13．如圖，在五面體ABCDEF中，面CDE和面ABF都為等邊三角形，面ABCD是等腰梯形，點P、Q分別是CD、AB的中點，F(xiàn)Q∥EP，PF=PQ，AB=2CD=2．
（1）求證：平面ABF⊥平面PQFE；
（2）若PQ與平面ABF所成的角為$\frac{π}{3}$，求三棱錐P-QDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由ABF為正三角形，且Q為AB的中點，可得FQ⊥AB，再由已知得PQ⊥AB，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面PEFQ，再由面面垂直的判定可得平面ABF⊥平面PQFE；
（2）取FQ中點O，連接PO，可得∠PQO為PQ與平面ABF所成的角為$\frac{π}{3}$，求出OP=$\frac{3}{2}$．得到三角形QPE的面積，然后利用等積法求得三棱錐P-QDE的體積．

解答 （1）證明：如圖，
∵ABF為正三角形，且Q為AB的中點，∴FQ⊥AB，
在等腰梯形ABCD中，∵P、Q分別是CD、AB的中點，
∴PQ⊥AB，又FQ∩PQ=Q，∴AB⊥平面PEFQ，
又AB?面ABF，∴平面ABF⊥平面PQFE；
（2）解：取FQ中點O，連接PO，∵PQ=PF，∴PO⊥QF，
又平面ABF⊥平面PQFE，且平面ABF∩平面PQFE=QF，
∴PO⊥平面ABF，則∠PQO為PQ與平面ABF所成的角為$\frac{π}{3}$，
∵等邊三角形ABF的邊長為2，∴QF=$\sqrt{3}$，則OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則OP=$\frac{3}{2}$．
∴${S}_{△QPE}=\frac{1}{2}×1×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$，
則${V}_{P-QDE}={V}_{D-PQE}=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．