Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，已知b_n＞0（n∈N₊），且a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃，S₅=5（T₃+b₂）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求和：

b2

T1•T2

+

b3

T2•T3

+…+

bn+1

Tn•Tn+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意列出方程組，求得公差及公比，即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

bn+1

Tn•Tn+1

=

Tn+1-Tn

Tn•Tn+1

=

1

Tn

-

1

Tn+1

，利用裂項(xiàng)相消法求和即得結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)公差為d，公比為q（q＞0），則有

d=q2 2d=2q+q2

⇒

d=4 q=2

，
從而有an=4n-3，bn=2n-1．
（II）由bn=2n-1得Tn=2n-1且

bn+1

Tn•Tn+1

=

Tn+1-Tn

Tn•Tn+1

=

1

Tn

-

1

Tn+1

，
則原式=(

1

T1

-

1

T2

)+(

1

T2

-

1

T3

)+…+(

1

Tn

-

1

Tn+1

)=

1

T1

-

1

Tn+1

=1-

1

2n+1-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)法求數(shù)列和等知識(shí)，屬于中檔題，應(yīng)熟練掌握運(yùn)用．