Question

1．已知函數(shù)f（x）=4sinx•cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-cos2x．
（1）將函數(shù)y=f（2x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，且滿足b=2，f（A）=$\sqrt{2}-1，\sqrt{3}$a=2bsinA，
B∈（0，$\frac{π}{2}$），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得f（x）=2sinx-1，由題意可求g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1，由x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．
（2）由已知及正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，可求sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合范圍0$＜B＜\frac{π}{2}$可求B=$\frac{π}{3}$，進而可求sinA，由正弦定理得a，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 $\begin{array}{l}解：（1）f（x）=4sinx•{cos^2}（{\frac{x}{2}+\frac{π}{4}}）-cos2x\\=4sinx•\frac{{1+cos（{x+\frac{π}{2}}）}}{2}-cos2x\begin{array}{l}{\;}{\;}…\end{array}1分\end{array}$
=2sinx-2sin²x-cos2x=2sinx-1，…2分
∴函數(shù)f（2x）=2sin2x-1 的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)
g（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）-1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象，…4分
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
當x=$\frac{π}{12}$時，g（x）_min=-2；當x=$\frac{5π}{12}$時，g（x）_max=1，所求值域為[-2，1]．…6分
（2）由已知$\sqrt{3}$a=2bsinA及正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，…7分
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$，…8分
由f（A）=$\sqrt{2}$-1，得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…9分
又a=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$b＜b，∴A=$\frac{π}{4}$，…10分
由正弦定理得：a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，…11分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$×2×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．…12分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎題．