Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…
（1）寫出S_n與S_n-1的遞推關(guān)系式（n≥2），并求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n關(guān)于n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：1）將a_n用S_n-S_n-1代換，經(jīng)過化簡整理可得{

n+1

n

Sn}為等差數(shù)列，從而求出S_n；
（2）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1（n≥2），代入S_n可求出數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)a_n，注意驗(yàn)證首項(xiàng)．

解答： 解：（1）由已知，將a_n=S_n-S_n-1代入得，Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
n＞2時(shí)，Sn=

n2

n2-1

Sn-1+

n

n+1

，
由S1=a1=

1

2

可得S2=

4

3

×

1

2

+

2

3

=

4

3

；S3=

9

8

×

4

3

+

3

4

=

9

4

；S4=

16

15

×

9

4

+

4

5

=

16

5

；
（2）由（1）可猜想Sn=

n2

n+1

；
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=

1

2

=

12

1+1

，猜想成立；
②假設(shè)n=k猜想成立，即Sk=

k2

k+1

，則n=k+1時(shí)，
Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk+

k+1

k+2

=

(k+1)2

(k+1)2-1

×

k2

k+1

+

k+1

k+2

=

k(k+1)

k+2

+

k+1

k+2

=

k2+2k+1

k+2

=

(k+1)2

k+2

故當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=

(k+1)2

k+2

，猜想成立．
由①②可得，Sn=

n2

n+1

對一切正整數(shù)都成立；
∴S_n關(guān)于n的表達(dá)式為Sn=

n2

n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查了已知a_n與S_n的關(guān)系求S_n，以及已知S_n求a_n的方法以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；注意，證明n=k+1時(shí)要適當(dāng)放縮．