Question

已知拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x正半軸上，拋物線C上點(diǎn)（1，t）到其準(zhǔn)線距離為

5

4

．
（Ⅰ）求拋物線C方程．
（Ⅱ）如圖：若斜率為1的直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)P，Q，在x軸上有兩點(diǎn)M，N，且PF=MF，QF=FN，直線MP，NQ交于點(diǎn)T，連結(jié)PF，QF，TF，記 S₁=S_△TFP，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT．
（1）證明：直線PM與拋物線C相切．
（2）求

S1•S2

S32

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線C上點(diǎn)（1，t）到其準(zhǔn)線距離為

5

4

，求出p，即可求拋物線C方程．
（Ⅱ）（1）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，求出直線PM的方程，代入拋物線方程，利用判別式可得結(jié)論；
（2）將直線PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0，計(jì)算點(diǎn)F到直線PT的距離，點(diǎn)Q到直線PT的距離，從而可得

S1•S2

S32

，令1-8m+16m²=t，即可求出

S1•S2

S32

的最小值，從而可得取到最小值時(shí)直線l的方程．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C上點(diǎn)（1，t）到其準(zhǔn)線距離為

5

4

，
∴

p

2

+1=

5

4

，
∴2p=1，
∴拋物線C方程為y²=x；
（Ⅱ）（1）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意及拋物線的定義知：M（-x₁，0），N（-x₂，0），
∴k_PM=

y1

2x1

=

1

2y1

∴直線PM：y-y₁=

1

2y1

（x-x₁），即x-2y₁y+y₁²=0
代入y²=x可得y²-2y₁y+y₁²=0
∵△=0
∴直線PM與拋物線C相切；
（2）解：

S1•S2

S32

=

S1

S3

•

S2

S3

=

dF-PT

dQ-PT

×

dF-TQ

dP-TQ

，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（-x₁，0），N（-x₂，0）
設(shè)PQ：y=x+m，代入y²=x，得x2+(2m-1)x+m2=0，△=(2m-1)2-4m2＞0，m＜

1

4

，x1+x2=1-2m，x1x2=m2，y1+y2=1，y1y2=m，
∴MP：x-2y1y+y12=0，

dF-PT

dQ-PT

=

1+4y12

4(y2-y1)2

，
同理

dF-QT

dP-QT

=

1+4y22

4(y2-y1)2

，
于是

S1•S2

S32

=

1+4[(y1+y2)2-2y1y2]+16(y1y2)2

16[(y1+y2)2-4y1y2]2

=

5-8m+16m2

16(1-8m+16m2)

設(shè)1-8m+16m²=t，∵m＜

1

4

，∴t＞0，
∴

S1•S2

S32

=

4+t

16t

=

1

16

(

4

t

+1)＞

1

16

，
∴

S1•S2

S32

∈(

1

16

，+∞)

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題．