Question

已知函數(shù)，f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上有極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，設g（x）=1+x|x-a|（1≤x≤3），求函數(shù)g（x）的最大值．

Answer 1

考點：變化的快慢與變化率,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過a=3，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調性，直接求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，利用f（x）在（0，1）上有極值，結合判別式，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，對于a≥3，2

2

＜a＜3時，轉化函數(shù)g（x）=1+x|x-a|（1≤x≤3），分別求解函數(shù)g（x）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=3，∴f(x)=x2+lnx-3x，f′(x)=2x+

1

x

-3=

2x2+1-3x

x

，
∵x＞0，由f′(x)＞0⇒x＞1或x＜

1

2

，
由f′(x)＜0⇒

1

2

＜x＜1，
∴f（x）的增區(qū)間是(0，

1

2

)，(1，+∞)，減區(qū)間是(

1

2

，1)．
（Ⅱ）∵f′(x)=

2x2-ax+1

x

，由已知可得，方程2x²-ax+1=0在（0，1）內有解，且△≠0．
∴a=

2x2+1

x

=2x+

1

x

，∵函數(shù)y=2x+

1

x

在(0，

2

2

)遞減，(

2

2

，1)遞增，
所以y=2x+

1

x

≥2

2

，由△≠0⇒a2-8≠0，a≠2

2

，∴a＞2

2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a＞2

2

．
1°當a≥3時，g(x)=1+ax-x2=-(x-

a

2

)2+1+

a2

4

，∵

a

2

≥

3

2

，1≤x≤3，
若

3

2

≤

a

2

＜3，即3≤a＜6時，g(x)max=g(

a

2

)=1+

a2

4

．
若

a

2

≥3，即a≥6時，g（x）_max=g（3）=3a-8．
2°當2

2

＜a＜3時，g(x)=

-x2+ax+1(1≤x≤a) x2-ax+1(a≤x≤3)

=

-(x- a 2 )2+1+ a2 4 (1≤x≤a) (x- a 2 )2+1- a2 4 (a≤x≤3)

∵

2

＜

a

2

＜

3

2

，1≤x≤3，
當1≤x≤a時，g(x)max=g(

a

2

)=1+

a2

4

．當a≤x≤3時，g（x）_max=g（3）=3a-8，
∵(1+

a2

4

)-(3a-8)=

a2

4

-3a+9=(

a

2

-3)2≥0，∴1+

a2

4

≥3a-8，
所以，當2

2

＜a＜3時，g(x)max=1+

a2

4

．
綜上可得，g(x)max=

1+ a2 4 (2 2 ＜a＜6) 3a-8(a≥6)

．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調性以及最值的求法，難度比較大，考查計算能力轉化思想的應用．