Question

已知全集U=R，函數(shù)f（x）=log₃（x²+x-2）的定義域?yàn)锳，關(guān)于x的不等式|x-2|＞a的解集為B．
（Ⅰ）若命題：x∈B是命題x∈A成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若A∪B=U，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,函數(shù)的定義域及其求法,絕對(duì)值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由x²+x-2＞0 可得 x＜-2，或 x＞1，可得A，解絕對(duì)值不等式求出B，通過(guò)x∈B是命題x∈A成立的充分不必要條件，推出B?A，列出不等式求解即可．
（Ⅱ）若A∪B=U，由（Ⅰ）列出不等式，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）要使函數(shù)f（x）=log₃（x²+x-2）有意義，必有x²+x-2＞0 可得 x＜-2，或 x＞1，
所以函數(shù)的定義域A={x|x＜-2，或 x＞1}，
關(guān)于x的不等式|x-2|＞a的解集為B={x|x＜2-a或x＞2+a}．
命題：x∈B是命題x∈A成立的充分不必要條件，可得B?A，即

2-a≤-2 2+a≥1

，解得a≥4．
實(shí)數(shù)a的取值范圍：[4，+∞）．
（Ⅱ）若A∪B=U，則2-a＞2或2+a＜-2，解得：a＜-4，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題．