Question

20．數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，a₇=$\frac{1}{2}$，則a₁=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式結(jié)合a₇=$\frac{1}{2}$求得${a}_{4}=\frac{1}{2}$，可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，由此可得a₁=$\frac{1}{2}$．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，得$1-{a}_{n}=\frac{1}{{a}_{n+1}}$，${a}_{n}=1-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∵a₇=$\frac{1}{2}$，∴${a}_{6}=1-\frac{1}{{a}_{7}}=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{5}=1-\frac{1}{{a}_{6}}=1-\frac{1}{-1}=2$，${a}_{4}=1-\frac{1}{{a}_{5}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
由上可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
則${a}_{1}={a}_{7}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是對數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．