Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PB上一點(diǎn)，且EF⊥PB．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD；
（3）求三棱錐B-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．通過(guò)中位線(xiàn)定理及線(xiàn)面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）證明DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD；
（3）利用等體積法，求三棱錐B-ADF的體積．

解答 證明：（1）連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG．（1分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，
又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，因此EG∥PA．（2分）
而EG?平面EDB，所以PA∥平面EDB．（3分）
（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線(xiàn)，
∴DE⊥PC①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD…（8分）
（3）解：過(guò)點(diǎn)F作FH∥PD，交BD于H．
因?yàn)镻D⊥底面ABCD，F(xiàn)H∥PD，所以FH⊥底面ABCD．
由題意，可得$PB=\sqrt{3}$，$PC=\sqrt{2}$，$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． 
由Rt△PFE∽R(shí)t△PCF，得$\frac{PF}{PE}=\frac{PC}{PB}$，$PF=\frac{PE•PC}{PB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
由Rt△BFH∽R(shí)t△BPD，得$\frac{BF}{BP}=\frac{FH}{PD}$，$FH=\frac{BF•PD}{BP}=\frac{2}{3}$．
所以${V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•FH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，（11分）
所以${V_{B-ADF}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{9}$，即三棱錐B-ADF的體積為$\frac{1}{9}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查間中線(xiàn)面垂直、線(xiàn)面平行的判定定理，三棱錐B-ADF的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．