Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E為PC的中點，F(xiàn)為PB上一點，且EF⊥PB．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD；
（3）求三棱錐B-ADF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點G，連接EG．通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）證明DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD；
（3）利用等體積法，求三棱錐B-ADF的體積．

解答 證明：（1）連接AC交BD于點G，連接EG．（1分）
因為四邊形ABCD是正方形，所以點G是AC的中點，
又因為E為PC的中點，因此EG∥PA．（2分）
而EG?平面EDB，所以PA∥平面EDB．（3分）
（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD…（8分）
（3）解：過點F作FH∥PD，交BD于H．
因為PD⊥底面ABCD，F(xiàn)H∥PD，所以FH⊥底面ABCD．
由題意，可得$PB=\sqrt{3}$，$PC=\sqrt{2}$，$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． 
由Rt△PFE∽Rt△PCF，得$\frac{PF}{PE}=\frac{PC}{PB}$，$PF=\frac{PE•PC}{PB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
由Rt△BFH∽Rt△BPD，得$\frac{BF}{BP}=\frac{FH}{PD}$，$FH=\frac{BF•PD}{BP}=\frac{2}{3}$．
所以${V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•FH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，（11分）
所以${V_{B-ADF}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{9}$，即三棱錐B-ADF的體積為$\frac{1}{9}$…（12分）

點評 本題考查間中線面垂直、線面平行的判定定理，三棱錐B-ADF的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．