Question

7．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足4S_n=a_n+1²-4n-1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得a_n+1=a_n+2（n≥2），求得a₂，驗(yàn)證a₂-a₁=2，說(shuō)明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入不等式左邊，然后利用裂項(xiàng)相消法證得答案．

解答 （1）解：由4S_n=a_n+1²-4n-1，
得$4{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-4（n-1）-1$，兩式作差得$4{a}_{n}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}-4$，
則${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4=（{a}_{n}+2）^{2}$，∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+2（n≥2），
由a₁=1，4S_n=a_n+1²-4n-1，得a₂=3，滿(mǎn)足a₂-a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．