Question

12．某小組為了研究中學生的視覺和空間能力是否與性別有關，從學校各年級中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男生30人，女生20人）．給每位同學難度一致的幾何題和代數(shù)題各一道，讓他們自由選擇一道題進行解答．50名同學選題情況如下表：

	幾何體	代數(shù)題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？
（Ⅱ）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）．
參考公式和數(shù)據(jù)：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（k2≥k）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²=$\frac{50}{9}$＞5.024，從而得到有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關．
（Ⅱ）由題意得X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）∵K²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$=$\frac{50}{9}$＞5.024，
∴有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關．
（Ⅱ）由題意得X的所有可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{26}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{12}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．