Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=$\frac{6}{5}$，x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），求sinx的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．
（2）由題意求得sin（x-$\frac{π}{6}$）的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（x-$\frac{π}{6}$）的值，從而求得sinx=sin[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為2π．
（2）∵f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，∴sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∵x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），∴x-$\frac{π}{6}$為銳角，cos（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（x-\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinx=sin[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$ 
=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．