Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式結(jié)合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得ω的值；
（2）直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2ωx+\frac{\sqrt{2}}{2}cos2ωx）$=$\sqrt{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$．
由T=$\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
再由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ$]（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了兩角和的正弦，屬中檔題．