Question

4．已知S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，且S₁，S₂，a₁+a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}+1）（lo{g}_{2}{a}_{n+1}+1）}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，且S₁，S₂，a₁+a₃成等差數(shù)列．
∴2S₂=S₁+a₁+a₃．
即2（a₁+a₂）=a₁+a₁+a₃，
即2a₂=a₃，
∴公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=2$，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1，及S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n}+1）（lo{g}_{2}{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{2}^{n-1}+1）（lo{g}_{2}{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₁+…+b_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，以及利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．