Question

3．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=|x|-1，x∈Z，且x∈[-2，3]．
（2）y=x²+x，x∈[-1，0]．
（3）y=$\frac{x-1}{x+1}$，x∈[2，3]．
（4）y=x+$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對x的限制，求出所有x值，然后求出對應(yīng)的y值，用列舉法表示出y值形成的集合，即得到了該函數(shù)的值域；
（2）配方，$y=（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，可設(shè)y=f（x），而f（-1）=f（0），從而得到值域?yàn)閇f（$-\frac{1}{2}$），f（0）]；
（3）分離常數(shù)得到，$y=1-\frac{2}{x+1}$，根據(jù)單調(diào)性定義便知該函數(shù)在[2，3]上單調(diào)遞增，設(shè)y=f（x），從而f（2）≤f（x）≤f（3），這便可得出該函數(shù)的值域；
（4）根據(jù)x-1≥0，從而可得到x≥1，$\sqrt{x-1}≥0$，這樣即可得出x+$\sqrt{x-1}$的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）x=-2，-1，0，1，2，3，對應(yīng)的y值分別為y=1，0，-1，0，1，2；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閧1，0，-1，2}；
（2）$y={x}^{2}+x=（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$$≥-\frac{1}{4}$，設(shè)y=f（x），則：
f（-1）=f（0）=0；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋海?-\frac{1}{4}，0$）；
（3）$y=\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$；
該函數(shù)在[2，3]上單調(diào)遞增，設(shè)y=f（x），則：
f（2）≤f（x）≤f（3）；
∴$\frac{1}{3}≤f（x）≤\frac{1}{2}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)?[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$；
（4）x-1≥0；
∴x≥1，$\sqrt{x-1}≥0$；
∴$x+\sqrt{x-1}≥1$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，x是孤立點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值域的求法，配方法求二次函數(shù)的值域，分離常數(shù)法的運(yùn)用，根據(jù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域．