Question

8．設(shè)銳角△ABC的面積為1，邊AB，AC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件求得，△PBC的面積等于$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{sin∠BPC}$．由余弦定理求得BC²的值，再利用基本不等式求得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$≥$\frac{4-2cos∠BPC}{sin∠BPC}$．再利用輔助角公式求得y=$\frac{2-cos∠BPC}{sin∠BPC}$ 的最小值，即可得到$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$的最小值．

解答 解：∵E、F是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF到BC的距離等于點(diǎn)A到BC的距離的一半．
∴△ABC的面積等于2△PBC的面積，而△ABC的面積等于1，∴△PBC的面積等于$\frac{1}{2}$．
又△PBC的面積為$\frac{1}{2}$PB×PC×sin∠BPC=$\frac{1}{2}$，∴PB×PC=$\frac{1}{sin∠BPC}$．
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=PB×PC×cos∠BPC=$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$．
由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CP×cos∠BPC．
顯然，BP、CP都是正數(shù)，∴BP²+CP²≥2BP×CP，
∴BC²≥2BP×CP-2BP×CP×cos∠BPC=2•$\frac{1}{sin∠BPC}$-2•$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$．
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$≥$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$+2•$\frac{1}{sin∠BPC}$-2•$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$=$\frac{2-cos∠BPC}{sin∠BPC}$．
令y=$\frac{2-cos∠BPC}{sin∠BPC}$，則y•sin∠BPC+cos∠BPC=2，
即 $\sqrt{{y}^{2}+1}$•sin（∠BPC+θ）=2，其中tanθ=$\frac{1}{y}$，
∴sin（∠BPC+θ）=$\frac{2}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤1，∴y≥$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$最小值為$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角形面積的計(jì)算，考查輔助角公式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．