Question

4．已知函數(shù)f（x）=3cos2x（x∈R）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求不等式$f（x）+f（x-\frac{π}{4}）＞\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合輔助角公式，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=3cos（-2x）=3cos2x=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）不等式$f（x）+f（x-\frac{π}{4}）＞\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$等價(jià)為3cos2x+3cos（2x-$\frac{π}{2}$）=3cos2x+3sin2x＞$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即3$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞$\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{24}$＜x＜kπ+$\frac{7π}{24}$，k∈Z，
即不等式的解集為（kπ-$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{7π}{24}$），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)和轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．