Question

18．已知P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x+y-2≤0}\\{x+2y-1≥0}\end{array}\right.$，則z=2^x+2^y的最小值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式求出z的最小值轉(zhuǎn)化為求x+y的最小值即可．

解答 解：z=2^x+2^y≥2×$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+y}}$，
設(shè)m=x+y，
則y=-x+m，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-x+m，由圖象知當直線經(jīng)過點A時直線的截距最小，此時m取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+2y-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（-1，1），
此時m=-1+1=0，
則z≥2$\sqrt{{2}^{0}}$=2，
故z=2^x+2^y的最小值為2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．