Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)A為圓心的圓與x軸相切于橢圓的一個焦點(diǎn)，與y軸相交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）
• B． （$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，1）
• C． （$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$）

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0），代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：A$（c，\frac{^{2}}{a}）$．根據(jù)△ABC是銳角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞$\frac{c}{\frac{^{2}}{a}}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2}+\sqrt{2}e-1＞0}\\{{e}^{2}+e-1＜0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：如圖所示，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0），代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：${y}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
取y=$\frac{^{2}}{a}$，A$（c，\frac{^{2}}{a}）$．
∵△ABC是銳角三角形，
∴∠BAD＜45°，
∴1＞$\frac{c}{\frac{^{2}}{a}}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化為$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{2}+\sqrt{2}e-1＞0}\\{{e}^{2}+e-1＜0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}＜e＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、銳角三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．